第三章数学科技   科技的发展也离不开数学的发展,数学在社会上也占有着不可缺少的地位。对整个科学技术(尤其是高新技术)水平的推进与提高,对科技人才的培养,对经济建设的繁荣,对全体人民的科学思维与文化素质的哺育。这些都是其他学科所不能比拟的。当今社会,数学的发展以及计算机技术的广泛应用,使数学在许多领域都有了不同程度的应用。在天文、地质、工业、农业、经济、军事、国防、医学等领域,都有着数学的影子。   数学发展史概况   数学最早是先从数开始的。据《易·系辞》记载:曾经在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十,以及百、千、万都是专用的记数文字,还有13个独立符号、十进制的记数法。那时出现最大的数字是三万。   数学形成的时期就是人类建立最基本的数学概念时期。当人们开始数数的时候才逐渐建立了自然数的概念。之后,又慢慢地发现了简单的计算方法和最基本的几何形式。   常量数学时期就是指初等数学。就是这个时期的最基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。初等数学时期从公元5世纪开始,也许更早一些,直到17世纪,大约持续了两千年。在常量的数学时期形成了初等数学的主要分支:算数、几何、代数、三角。   ◎变量数学   变量数学时期。变量数学产生于17世纪,经历了两个决定性的重要步骤:第一步是解析几何的产生;第二步是微积分的创立。微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。变量数学是数学的一个基础学科,其内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。   ◎现代数学   现代数学。现代数学时期,大致是从19世纪上半叶开始。数学发展的现代阶段的开端,以其所有的基础——代数、几何、分析中的深刻变化为特征。   早在中国古代就研究出了许多数学的科学,只是那时还比较简单。到现在社会,人们又在早期结果的基础上延伸了。中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族。在灿烂的文化瑰宝中,数学在世界数学发展史中同样具有许多耀眼的光环。近代社会出现了不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。   李氏恒定式是数学家李善兰在级数求和方面的研究成果,所以被称为是“李氏恒定式”。   华氏定理是我国著名数学家华罗庚的研究成果。华氏定理为:体的半自同构必是自同构、自同体或反同体。数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”。另外,他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。   苏氏锥面:数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。苏步青院士对仿射微分几何的一个极其美妙的发现是:他对一般的曲面,构做出一个仿射不变的4次(3阶)代数锥面。在仿射的曲面理论中为人们许多协变几何对象,包括2条主切曲线,3条达布切线,3条塞格雷切线和仿射法线等等,都可以由这个锥面和它的3根尖点直线以美妙的方式体现出来,形成一个十分引人入胜的构图,这个锥面被命名为苏氏锥面。   知识窗·数学文化·   数学与文化有联系吗?大概会有很多人这么问吧。数学从文化方面来理解时,那么数学教育方面有着重要的意义。数学与人文科学相比更像是哲学,哲学是使人类获得智慧的科学,而数学则是正可以使人变聪明的科学。数学文化是一个单独的板块,并被给予了特别的重视,其原因是,20世纪初时数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感受到数学只是少数天才才可以看得懂的“自由创造物”,数学的发展并不需要社会的推动,其真理性无须实践的检验。当然,数学的进步也不需要人类文化的哺育。到21世纪时,数学文化更加深入研究了,它已经走进了中小学课堂,并且渗入了实际教学,努力使学生在学习数学的过程中真正感受到数学的文化。   1.请用9根火柴(不许损坏火柴)摆出3个正方形和2个正三角形。   2.有一个装满葡萄酒的8升罐子,另有一个3升,一个5升的空罐子,问怎么倒可以把葡萄酒分成两个4升的?   中国古代数学的发展   ※祖冲之   生活中是离不开数学的,在古代,算筹就是一件计算工具,这种计算方法称为筹算。筹算在春秋时代已很普遍。到十五纪时,筹算逐渐为珠算所取代,中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。   《史记·夏本纪》中曾记载夏禹治水时期就已经使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具,并且早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例。在战国时期时,齐国的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范,里面包含了一些测量的内容,而且有的都涉及到一些几何知识,例如角的概念。此外,《易经》中已有了组合数学的萌芽,并反映出二进制的思想。   中国古代数学体系在经过秦汉、魏晋、南北朝等共400余年的发展中才形成并得到了发展。中国古代数学体系的形成时期是在秦汉时期,为使不断丰富的数学知识系统化、理论化,数学方面的专书陆续出现。著作例如西汉末年编纂的《周髀算经》,尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作,但包含许多数学内容。在数学方面主要有两项成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)测太阳高、远的陈子测日法,为后来重差术(勾股测量法)的先驱。此外,较复杂的开方问题和分数运算等也都出现了。   中国数学在理论上有了较大的发展是在魏晋时期,其中赵爽(生卒年代不详)和刘徽(生卒年代不详)的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一,对《周髀算经》做了详尽的注释,并且在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理,他的方法已体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法求解二次方程的新方法。263年,三国魏人刘徽注释《九章算术》,在《九章算术注》中不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理,而且在其论述中多有创造。   公元五世纪,祖冲之、祖暅父子在《九章算术》刘徽注的基础上,将传统数学大大向前推进了一步,之后成为重视数学思维和数学推理的典范。他们所著的《缀术》已失传,根据史料记载,他们在数学上主要有三项成就:(1)他们是计算圆周率精确到小数点后第六位,得到31415926<π<31415927,并求得π的约率为22/7,密率为355/113,其中密率是分子分母在1000以内的最佳值,欧洲直到十六世纪德国人鄂图和荷兰人安托尼兹才得出同样结果;(2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式,并提出“幂势既同则积不容异”的体积原理,即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利才提出同一定理;(4)他们发展了二次与三次方程的解法。   隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期,随着科举制度与国子监制度的确立,数学教育方面也有了长足的发展。656年国子监设立算学馆,并设有算学博士和助教,由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》﹝包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》﹞,作为算学馆学生用的课本,对保存古代数学经典起了重要的作用。   继唐朝亡后,五代十国仍是军阀混战的局面,直到北宋王朝统一了中国,农业、手工业、商业迅速繁荣,科学技术也有了突飞猛进的发展。公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞,筹算数学达到极盛,是中国古代数学空前繁荣、硕果累累的全盛时期。在这一时期也出现了一批著名的数学家和数学著作,贾宪的《黄帝九章算法细草》,刘益的《议古根源》,秦九韶的《数书九章》,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》,朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》等,都推进了中国古代数学的发展。   ◎珠算的普及   ※算盘   珠算盘是在公元十四世纪时,我国人民就已经使用了,直到现代计算机出现之前,珠算盘一直是世界上简单又有效的计算工具。   在十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年,数学的发展除珠算外都出现了全面衰弱的局面,当中涉及到珠算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题,不少中外数学史家仍探讨其涉及的原因。   明代时期的最大的成就则是珠算的普及,那时就已经出现了许多珠算读本,及至程大位的《直指算法统宗》问世,珠算理论已成系统,标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行,筹算几乎绝迹,建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传,数学出现长期停滞。   知识窗·中国古代数学的发展及影响·   中国古代数学具有悠久的传统。在古代世界四大文明中,中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪,中国古典数学先后经历了三次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期,并在宋元时期达到顶峰。数学的发展包括了两大主要活动:证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡,后构成数学发展中演绎倾向的脊梁;算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度,形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现,数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上,算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。   1.一个数,去掉末位是40,去掉首位是13,求这个数。   2.中国古代中都有哪些数学著作?   中国数学著作   ※九章算术书影   中国的数学具有很悠久的历史,也曾留下来好多著名的读本。古代数学,起源于人类早期的生产活动,产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。在古代数学称为算术,有时也被称算学,最后才改为数学。   ◎《九章重差图》   263年左右,刘徽发现当圆内接正多边形的变数无限增加时,多边形的面积则可无限逼近圆面积,即所谓“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”刘徽采用了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想,创立了“割圆术”。《重差》原为《九章算术注》的第十卷,即后来的《海岛算经》,内容是测量目标物的高和远的计算方法。重差法是测量数学中的重要方法。   公元466~485年间,北魏张丘建写了《张丘建算经》,其中最为有成就的就是最小公倍数的应用和等差数列各元素互求以及“百鸡术”等。“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西《算术之钥》等著作中均出现相同的问题。   ◎《黄帝九章算经细草》   北宋时期的贾宪写了《黄帝九章算经细草》。中国古典数学家在宋元时期达到了高峰,这一发展的序幕是“贾宪三角”(二项展开系数表)的发现及与之密切相关的高次开方法(“增乘开方法”)的创立。《黄帝九章算经细草》约于1050年左右,原书佚失,但其主要内容被杨辉(约13世纪中)著作所抄录,所以才流传至今。杨辉《详解九章算法》(1261)载有“开方作法本源”图,注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”,或称“杨辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”,1654年为法国数学家B·帕斯卡重新发现。   ◎《数书九章》   《数书九章》,作者秦九韶(约1202~1261),字道吉,四川安岳人,先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官,1261年左右被贬至梅州(今广东梅县),不久死于任所。秦九韶同李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。秦九韶早年在杭州“访习于太史,又尝从隐君子受数学”,他在1247年写成著名的《数书九章》,全书共18卷,81题,分九大类(大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易)。书中最为重要的成就就是——“大衍总数术”与“正负开方术”(高次方程数值解法),使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。   ◎《测圆海镜》   1248年李治著成《测圆海镜》一书,作者李冶(1192~1279)原名李治,号敬斋,金代真定栾城人,曾任钧州(今河南禹县)知事,1232年钧州被蒙古军所破,遂隐居治学,被元世祖忽必烈聘为翰林学士,仅一年,便辞官回家。李治在1248年撰成《测圆海镜》,其主要说明用开元术列方程的方法。随着高次方程数值求解技术的发展,列方程的方法也相应产生,这就是所谓的“开元术”。在传世的宋元数学著作中,首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似,“立天元一为某某”,相当于“设x为某某”,可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一部数学著作《益古演段》(1259),也是讲解开元术的。   ◎《四元玉鉴》   朱世杰是著名的数学家,其最重要的就是《四元玉鉴》。朱世杰(1300前后),字汉卿,号松庭,寓居燕山(今北京附近),“以数学名家周游湖海二十余年”,“踵门而学者云集”。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》(1299)和《四元玉鉴》(1303)。《算学启蒙》是一部通俗数学名著,曾流传海外,影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创作有“四元术”(多元高次方程列式与消元解法)、“垛积法”(高阶等差数列求和)与“招差术”(高次内插法)。   知识窗·中国数学著作——《缀术》?·   《缀术》是南北朝时期著名数学家祖冲之的著作。《缀术》在唐代被吸入《算经十书》,成为唐代国子监算学课本,当时学完这本书需要花4年的时间,所以《缀术》非常的博学艰深。《缀术》是祖冲之父子作的,它是自汉魏至隋唐水平最高的数学著作,李淳风高度评价了这本书,认为它是“指要精密,算氏之最者也”。   1.几根火柴摆成了“XI+I=X”的样子(罗马数字11+1=10),问至少移动几根火柴,才能使等式成立?   2.现有一个不成立的等式“62-60=4”,请移动其中一个数字,使得等式成立。   西方近代数学的发展   ※韦达   欧洲的数学是从代数开始的,它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域,也正因如此,在欧洲拉开了近代数学的序幕。它主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面。   文艺复兴时期,欧洲方程论与代数学研究是数学史上精彩的一页,意大利人在三、四次方程解法方面的工作是整个17、18世纪数学关于高次代数方程理论的一系列漫长而影响深远的探索的起始点。   翻译家格拉多(1114~1187)将花拉子米的《代数学》翻译成拉丁文后,开始在欧洲传播。不过,到十五世纪时,人们还以为三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。第一个突破是波伦亚大学的数学教授费罗(1465~1526)大约于1515年左右作出的,他发现了形如(m,n>0)的三次方程的代数解法。   代数上的进步在于引用了较好的符号体系,这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说,都很重要。代数正是由于符号化体系的建立,才使代数有可能成为一门科学。代数学一个最为明显、突出的标志,就是普遍地使用了数学符号,它体现了数学学科的高度抽象与简练。文艺复兴时期代数学的另一重大进展,便是系统地引入符号代数。   在埃及、希腊与印度都曾零星地使用过缩写文字和符号,中国宋元时期的数学家也引入天元、地元、人元、物元等来表示未知数,但是那个时候他们并没有意识到这样做到底是什么意思,只有丢番图自觉地运用符号以使代数的思路与书写更加紧凑有效。或许是印刷术传入欧洲的原因,十五世纪及十六世纪初的欧洲数学著作的书写形式尽管主要是文章式的,但流行着使用一些特殊词语的缩写与特定的数学符号,在意大利修道士帕奇欧里(约1445~1509)的《算术、几何及比例性质之摘要》(1494)、德国人斯蒂费尔(1486?~1567)的《综合算术》(1544),以及鲁道夫(约1500~1545)的《求根术》等书中尤为显著。   ◎数字符号系统化   提出数学符号系统化的是法国数学家韦达,由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生最重大变革。韦达开始只是一名律师与政治家,他业余时间研究数学。他曾在布列塔尼议会工作,后任那瓦尔的亨瑞亲王的枢密顾问官。他在1584~1589年间,献身于数学研究,曾研究过卡尔丹、塔塔利亚、邦贝利、史蒂文(1548~1620)和丢番图等人的著作,也就是从这些著作中特别是丢番图的著作中获得了用字母的想法。1591年的时候,他写的《分析引论》中,第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号性代数称作“类的算术”,同时规定了算术与代数的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式,算术运算施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛。   韦达的这种符号系统化受到后人的赞赏,并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德(1575~1660)的《实用分析术》所继承,灵活地加以运用,特别是通过后者的著作,采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡儿完成的,他首先用拉丁字母的前几个(a,b,c,d,…)表示已知量,后几个(x,y,z,w,…)表示未知量,而这些也成为今天的习惯,笛卡儿改变了韦达的做法,毫无区别地采用文字系数。韦达的符号代数保留着齐性原则,要求方程中各项都是“齐性”的,即体积与体积相加,面积与面积相加。这一障碍随着笛卡儿解析几何的诞生也得到消除。   到十七世纪末,欧洲数学家已普遍认识到,数学中特意使用符号具有很好的功效。并且使数学问题具有一般性。不过当时随意引入的符号太多,我们今天所使用的符号,实际是这些符号经过长期淘汰后剩下来的。   知识窗·数学家——韦达·   韦达是法国著名的数学家,也是十六世纪最有影响力的数学家之一,他最具有影响力的就是代数的引进,所以他被称为是“代数学之父”。韦达是第一个引进系统的代数符号的,在十六世纪对数学的发展作出了很大的贡献,成为十六世纪最杰出的数学家。韦达年轻的时候是一名律师,后又从事政治工作,他只有在业余时间才研究数学,然而他却完成了代数和三角学方面的巨作。他写的《应用于三角形的数学定律》也是他最早的数学专著之一。除了代数和三角形的数学定律外,韦达最早还明确给出了有关圆周率值的特点,并且创造了一套10进分数表达式,也促进了记数法的改革。韦达还写了一篇“截角术”的论文,初步讨论了正弦、余弦和正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到了三角学中。   1.在什么情况下,5大于0,0大于2,2大于5?   2.一名军官要求24名士兵站成6排,每排都是5人,士兵们全犯傻了。最后一名士兵终于想出了一个好办法。他是怎样安排的?   现代数学的发展   ※约瑟夫格朗日   从理论上来讲,数学经过了四个阶段的演变。数学在经过漫长的演化之后,进入了现代数学阶段。19世纪20年代至今为现代数学时期,这一时期,数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式,数和量仅仅是它的极特殊的情形,通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程,非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时期新兴起的许多学科,蓬勃地向前发展,内容和方法都在不断地充实、扩大和深入。   19世纪20年代是数学革命狂飙的时候,从那一时期数学开始了一连串本质的变化,迈入了一个新的时期——现代数学时期。非欧几何是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现,改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点,它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路,而且也是20世纪相对论产生的前奏和准备。   1854年,黎曼研究出了空间的概念,并且开创了几何学的一片领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨,研究可以作为基础的概念和原则,分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年,希尔伯特对此也作出了重大贡献。   1843年哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现,改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。并且,由于一元方程根式求解条件的探究,引进了群的概念。19世纪20~30年代,阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的,古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后,多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时,代数学的研究对象扩大成为向量、矩阵等等,并渐渐转向代数系统结构本身的研究。   在19世纪还研究出了第三个有深远意义的数学事件——分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子,要求人们对分析基础作更深刻的理解。在那时他提出被称为“分析的算术化”的著名设想,实数系本身最先应该严格化,然后分析的所有概念应该由此数系导出。到了19世纪后期,狄德金、康托和皮亚诺又对它深入地探究,把这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期,证明了自然数可用集合论概念来定义,因而各种数学能以集合论为基础来讲述。   拓扑学刚被发现的时候只是几何学的一个分支,直到20世纪的第二个四分之一世纪,它才被广泛地推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到:任何事物的集合,不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合,都能在某种意义上构成拓扑空间。到目前为止,拓扑学的概念和理论,已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。   在20世纪40~50年代的时候世界科学史上发生了三件惊天动地的大事,即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。除了这些技术的兴起之外,还有其他的一些技术,都促使数学发生急剧的变化。其他的情况还有:现代科学技术研究的对象日益超出人类的感官范围以外,向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展等。计算数学可以归入计算机科学之中,但它也是一门应用数学。   应用数学和纯粹数学(或基础理论)基本上是没有界限的,大体上说,纯粹数学是数学的这一部分,它暂时不考虑对其他知识领域或生产实践上的直接应用,纯粹数学间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用;应用数学则可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。20世纪40年代以后,涌现出了大量新的应用数学科目,内容的丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的。例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清,也有的因为用了很多概率统计的工具,又可以看作概率统计的新应用或新分支,这些当中也有的被分到了计算科学的领域里。   当代数学的研究成果,有了几乎爆炸性的增长。数学的研究成果在17世纪末以前,只有17种(最初的出现于1665年);18世纪有210种;到19世纪时候增加到950种。20世纪的统计数字更为增长。在本世纪初,每年发表的数学论文不过1000篇;到1960年,美国《数学评论》发表的论文摘要是7824篇,到1973年为20410篇,1979年已达52812篇,文献呈指数式增长之势。数学的三大特点—高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性,更加明显地表露出来,可见数学的使用真是不可小看的。   现今社会,每个国家都有自己的数学学会,而且许多国家还有致力于各种水平的数学教育的团体。它们已经成为推动数学发展的有利因素。目前数学还有加速发展的趋势,这是过去任何一个时期所不能比拟的。现代数学是多姿多彩的,它们没有界限,在将来将会有越来越多的数学研究成果供人们使用。   知识窗·现代数学的发展趋势·   现代数学与古代的数学相比,多了一些新的特征。现代数学具有统一性、数学在自然科学和社会科学中都有广泛应用、数学越来越机械化、计算机也促进了计算数学的发展。数学的统一性就是指部分与部分、部分与整体之间的协调一致,数学的统一性是客观世界统一性的反映,也是数学中各个分支固有的内在联系的体现。随着科学的不断发展,学科之间的相互渗透已是一种很普通的现象,其中数学最为突出,数学已经成为其他学科的一个重要组成部分,这也是数学应用日益广泛的体现。数学的脑力劳动有两种主要形式:定理证明和数值计算。20世纪40年代,出现计算机以后由此产生了一种新的学科:人工智能。数学问题的机械化就是要求在运算或证明的过程当中,每前进一步都有确定的、必然选择的一步,就这样一直沿着一条有规律的、刻板的道路,直到得出结论。计算是与生活联系最直接、最密切的一环,在数学的发展史中,计算占有很重要的地位,它是古代数学最重要的组成部分。   1.阿里说在某条件下4-1=5,并说可以用示意方式证明该方式的正确。小英不服,等阿里拿出证明之后,她无话可说了。阿里怎样证明算式的呢?   中西方数学的异同   ※代数公式   中西方数学的不同,总体上而言就是:中国古代的数学比较贴近实际生活需求,而西方古代数学则比较注重理论的思考证明。不同民族文化中的数字或数学都在特定的文化氛围中有着某些神秘性。而且,不同民族文化中的数学神秘性发展的道路都是各不相同的。   ◎中西方数字文化   从中西古代数学文化史的比较意义上分析,形成中西古代数学的两种倾向:逻辑演绎倾向和机械化算法倾向,其作用与构造差异主要是由文化系统赋予的文化层次及其价值取向的差异造成的,这两种倾向的对立统一就构成了数学自身内在的矛盾运动和发展动力。   在古希腊文化的发展中,原始数学始终沿着神秘性和数量性的双重功能统一性继承的轨道向前发展。古希腊数学与神秘性的结合,使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界的普遍性地位,这正是古希腊数学完全脱离实际问题,追求逻辑演绎的严谨性的文化背景。   因此,从数学文化史的意义上分析,发端于古希腊的西方数学不仅仅是一个数学意义的运演操作系统。更是作为一种文化系统中起主导作用的理性解释系统,或者称之为一种理性构造的规范模式。在西方文化中,西方数学解释宇宙的变化,引导理性的发展,参与物质世界的表述,任何学科的构建都必须按照文化理性的要求模仿和运用数学的模式。用数学解释一切是西方数学在与其适应的文化获取的价值观念。   在中国文化发展中,我国古代数学筹算操作的机械化运演形成的计算体系,来源于作为原始数学的竹棍操作运演在历史进程中的演化。中国古代是借助于竹棍为特定物进行数字、数学操作运演的民族。中国古代数学具有外算与内算的双重功能,即“算数万物”的算术性功能和神秘主义的解释性功能。   中国古代数学未形成以宗教、哲学的层次思辨自己的方法、结构形式,而是形成了专司具体数学问题的特征。中国古代数学在文化传统中的价值取向就是在筹算运演机械重复的条件下尽力构造简明的运演方法,准确迅速地解决实践提出的具体问题。中国传统的价值观念以及筹算的技艺型价值取向,决定了中国古代数学的发展和构造模式,这种筹算数学的价值取向保证了中国古代数学机械化特色的发展方向,注重数学实际应用的层次不断发展,机械化的计算技术和水平不断提高。可以说,中国传统数学在数量关系上是以算筹制为主线贯穿一起,以提高机械化的计算技术来解决实际问题为目标的。同时,文化价值观的传统特点也造就了一批传播和发展作为技艺数学的群体,这是促进数学机械化发展的人才优势,尤其是在相对稳定的文化环境中,其传统价值观念发挥了重要作用。   事实上中西古代数学的作用与构造差异主要是由文化系统赋予它的文化层次及其价值取向的差异造成的。可以说,西方数学著作的构造模式及其理性作用是不会在中国文化中出现的,因此,在古今数千年的数学发展中,形成不同时期、不同地域的中西数学的两种倾向:逻辑演绎倾向和机械化算法倾向,都是历史文化中的必然。以古希腊的数学家《几何原本》为代表的逻辑演绎倾向和以《九章算术》为代表的机械化算法倾向交互作用,“轮流执政”,共同以各自的构造模式、思维方式、运演规律及结构特征对世界数学的发展作贡献。   在对待中国传统数学和西方数学对世界科技和文明所作出的贡献这个问题上,长期以来,人们使用的数学评判标准多数是在西方数学中形成的西方中心论。西方中心论的评判标准的理论基础是西方数学哲学,自觉或不自觉地把西方数学的模式思维方式和价值标准,作为评价世界上不同国家和地区数学(包括中国的传统数学乃至东方数学)与科学的唯一标准。从数学文化史的研究表明,在对待中国古代数学与其他自然科学的基础上,这种判断和比较不是在对中国古代数学理性思辨的基础上形成的,忽略了中国竹棍式数学演化流变的文化特征与西方数学的文化差异。   总之,中西古代数学在其民族文化中价值观念的差异,是我们数学史研究中应当十分注意的问题。在人类文化史中,人们可以发现每一种文化系统都有其特定的数学发展和构造模式,对人类古代数学的比较,应从不同文化系统的数学模式中,提炼出人类古代数学的共有规律,并以此为价值尺度来客观、公正地评价。中国古代数学是在中国文化中产生发展的,它不会也不可能按照西方数学的模式来发展,因此我们评判中国古代数学时就不应当照搬西方数学的评价。每一个文化衍生出的东西自然不能完全适应另一种文化,所以,中国古代数学的评判,应该结合中国古代的发展去论断。   知识窗·中西数学中的无穷思想比较·   中国古代数学中的无穷思想最早可以追溯到先秦时期。无穷思想的第一次应用是在魏晋时期刘徽“割圆术”和“刘徽原理”里面。南北朝时期,祖冲之父子的“祖暅原理”里面也有用到数学的无穷思想。在西方国家数学的无究思想里曾出现过两次危机:第一,无理数的发现。它的发现使人们意识到了不可公度量的存在,这一发现直接导致了以整数为基础的宇宙模型的破产;第二,无穷小。当人们享受着微积分在实践上的巨大作用时,关于无穷小量的研究,对于无穷小是0还是非0的问题,引起了数学上的一次争论。从数学文化史的角度进行分析,造成中西数学不同发展结果的原因主要有两个:第一,中西数学在整个民族文化价值观中的地位不同;第二,社会精英人才对数学的研究程度不同。   1.一个裁缝,有一块16米长的呢料,她每天从上面剪下来2米,问多少天后,她剪下最后一段呢料?   数学的科学应用   ※计算机芯片   到目前为止,数学已经涉及到社会的方方面面,成为生活中必不可少的一门学科。最为复杂的数学理论和物理学往往是走得最近的,与信息科学、计算机科学有着很强的联系。而应用数学则与工程科学、经济金融、市场管理等紧密结合。对于绝大多数人而言,数学是一种解决问题的工具,将问题抽象、建模、解决数学方程、获得结果还原成解决问题的结果。其实数学不仅是用来计算的,它也是一门非常实用的科学。   ◎数学的概念   数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。数学在透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念,为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。尤其令人们意想不到的是,数理逻辑竟成为发明现代电子计算机的先导,而且自从有了电子计算机以来,数理逻辑就成为计算机科学工作者的理论基础。   数学在发展的过程中,一方面不断地从数学本身提出需要解决的问题,另一方面,数学也不断地扩展到了日常生活、生产、技术和其他科学的领域,从而进一步向数学提出需要解决的问题。第二次世界大战以前,数学已经跨越自我向相关学科(如相对论、量子物理、理论物理、弹性力学、流体力学、数理经济学)的应用,并且取得了前所未有的成就。不过当时数学对工程技术的应用往往只起着间接的作用:它首先应用于其他科学,再由这些科学提供技术进步的基础。在第二次世界大战期间和以后,经济以及其他科学技术都有了空前的发展,出现了一大批需要数学提出决策性结论的新型实际问题,例如:大批量生产的质量控制和检验问题、生产的方案与配方问题、可靠性问题、大型的调度问题、通讯中抗干扰和从微弱信号中提取信息的问题,编码问题以及后来出现的信息压缩问题、远程控制等问题。这些成为新的数学应用的推动力。同时随着数学的蓬勃发展,它所积累的丰富的理论、方法提供了描述实际现象(建立模型)的有力工具和研究模型方法的雄厚基础。通过这两方面的相互结合,形成了一批带有新特点的独立的应用数学,如数理统计、运筹学、信息论、控制论等。   ◎数学特征   数学具有精确性和抽象性两大特征。其精确性表现在数学概念的准确性,推理逻辑的严格性,数学结论确定无疑和无可争辩性。抽象性则是指保留量的关系,空间形式舍去其他一切。数学的这种客观性对个人的发展产生了很大的影响。   数学与其他学科的相互促进,使得数学的发展异常迅猛,用途的广泛性也已经超出了人们的想象。实用主义降低了数学的作用,由于过分的强调,而使数学的人文作用处于一个几乎被忽略的地位。而世界观的形成是后天的,它与人的成长过程密切相关。世界观左右人的认识、观点与方法。它们的共性表现为:符合逻辑的、辨证统一的和纯理性的。数学家也不例外,他们在从事数学研究的同时,必定通过数学来看世界。反过来,他们对世界的看法也影响着其数学工作。从毕达格拉斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒一直认为世界是数的体现,世界是按数学公式运行的,宇宙的书本是按数学写成的。数学与世界密不可分。不少数学家也都是哲学家。   数学的纯理性是辩证唯物主义认识世界和预知世界的强大思想。唯物论的观点已经被有意或无意地曲解了。一个极端是,认为认识必定来源于物质世界而且必定直接来自于物质世界;另一个极端是,没有实践基础就要求人民解决思想问题,认为解决思想认识问题就解决了一切。数学科学的事实与发展排除了这两种极端。   现代科技里应用数学的有好多种,例如:电子计算机的发明与使用。电子计算机是第二次世界大战以来对人类文明影响最为深远的科技成就之一。电子计算机是数学与工程技术相结合的产物,而在其发展的每个历史关头,数学都起了关键的作用。无论是第一次工业革命还是第三次科技革命,数学都起到了领军的作用,相信接下来的科技革命,数学依然还会起到很大的作用。   知识窗·数学在科技中的应用·   自古以来,数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连,数学的研究成果往往是重大学科发明的催生素。在20世纪上半世纪,数学虽然也直接为工程技术提供了一些工具,但基本上都是间接的:数学促进了其他科学的发展,再由这些科学提供工程原理和设计的基础,可以说是幕后的无名英雄。现在社会中所使用的密码、电子商务、DNA等都是和数学有关的科学。数学也在生活中广泛应用,像是建筑工程上的图纸等都要用到数学。可见,数学是无处不在的,也是不可缺少的,它起着至关重要的作用。   大郎,二虎,三牛,四贵,五娃五个人,是从小一起长大的好朋友,如今都已长大成人,而且在同一条街上做生意。他们分别是面包店老板,理发师,肉店老板,烟酒经销商和公司职员。   现在知道这样一些情况:   ①面包店老板不是三牛,也不是四贵。   ②烟酒经销商不是四贵,也不是大郎。   ③此外,三牛和五娃住在同一栋公寓里面,隔壁是公司职员   的家。   ④三牛娶理发师的女儿时,二虎是他们的媒人。   ⑤大郎和三牛有空时,就和肉店老板,面包店老板打牌。   ⑥而且,每隔十天,四贵和五娃一定要到理发店修个脸。   ⑦但是,公司职员则一向自己刮胡子,从来不到理发店去。   问题:这五个人都是干什么的?

上一页 下一页